A incerteza amostral de uma média depende de como as unidades foram sorteadas. Inspecionar 25 peças diferentes de um lote fechado de 100 não é o mesmo que realizar 25 sorteios permitindo escolher a mesma peça novamente. A correção para população finita expressa essa diferença sem apagar a incerteza da própria medição.
Definir primeiro a população
Considere um lote fechado de N unidades e amostragem aleatória simples de n unidades distintas, sem reposição. Todas as combinações de tamanho n têm a mesma probabilidade. Para a média, a variância amostral é (1 − n/N)S²/n, quando S² é a variância da população finita calculada com denominador N − 1.
A redução está relacionada à dependência negativa criada pelo sorteio sem reposição. Usando a variância populacional com denominador N, a mesma fórmula pode ser escrita com o fator (N − n)/(N − 1). As duas formas não conflitam: usam definições diferentes da variância. A literatura sobre reposição ressalta que a conclusão clássica depende do desenho de seleção; não deve ser estendida indiscriminadamente a probabilidades desiguais.
Exemplo de massa por peça
Suponha um lote hipotético de 100 unidades identificadas da mesma referência. Uma amostra aleatória simples de 25 peças apresenta média de núcleo de 600 g e desvio-padrão amostral de 20 g. Usando s² como estimativa de S², o erro-padrão estimado da média é a raiz de 0,75 × 400/25, aproximadamente 3,4641 g.
Sem a correção, a conta seria 20/√25 = 4,0000 g. Nesse exemplo, o erro-padrão amostral cai aproximadamente 13,40%. A estimativa do total é 100 × 600 = 60.000 g, ou 60 kg, e seu erro-padrão amostral seria aproximadamente 346,41 g. Os valores são ilustrativos, não pesagens de um lote real.
O que acontece num censo
Se as 100 unidades forem efetivamente observadas, a incerteza de seleção dessa população finita desaparece. Isso não significa incerteza total zero. A balança ainda pode ter erro, a definição de núcleo pode variar e a identificação das unidades pode estar incorreta. A correção atua somente sobre a componente ligada ao sorteio descrito.
Ela também não se aplica diretamente a uma operação que pretende inferir peças futuras de uma população aberta. Medir todo o lote atual não elimina a variabilidade de lotes que ainda serão gerados. A pergunta ‘quanto há neste lote?’ é diferente de ‘qual será a média da próxima campanha?’.
Condições para usar a conta
O cadastro precisa delimitar N, impedir seleção duplicada e permitir rastrear quais unidades foram sorteadas. Escolher as peças mais acessíveis na superfície de uma pilha não se torna amostragem aleatória apenas porque a fração inspecionada é grande.
Se unidades tiverem probabilidades distintas, estratos ou conglomerados, o estimador e sua variância devem corresponder a esse desenho. Uma correção numérica simples não conserta viés de seleção. Para materiais com PGMs, separar seleção, preparação e medição ajuda a investir na etapa que realmente limita o resultado, em vez de reduzir artificialmente uma incerteza apenas porque muitas unidades foram observadas.
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